إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
[4-4-22]
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 2 هي المصفوفة المربعة 2×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI2).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [4-4-22].
p(λ)=محدِّد([4-4-22]-λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2 التي تساوي [1001].
p(λ)=محدِّد([4-4-22]-λ[1001])
p(λ)=محدِّد([4-4-22]-λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ00λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ00-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ00-λ])
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ00-λ])
p(λ)=محدِّد([4-4-22]+[-λ00-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[4-λ-4+0-2+02-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف -4 و0.
p(λ)=محدِّد[4-λ-4-2+02-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف -2 و0.
p(λ)=محدِّد[4-λ-4-22-λ]
p(λ)=محدِّد[4-λ-4-22-λ]
p(λ)=محدِّد[4-λ-4-22-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(4-λ)(2-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.1
وسّع (4-λ)(2-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=4(2-λ)-λ(2-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=4⋅2+4(-λ)-λ(2-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=4⋅2+4(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-(-2⋅-4)
p(λ)=4⋅2+4(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1.2.1.1
اضرب 4 في 2.
p(λ)=8+4(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 4.
p(λ)=8-4λ-λ⋅2-λ(-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.3
اضرب 2 في -1.
p(λ)=8-4λ-2λ-λ(-λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=8-4λ-2λ-1⋅-1λ⋅λ-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=8-4λ-2λ-1⋅-1(λ⋅λ)-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=8-4λ-2λ-1⋅-1λ2-(-2⋅-4)
p(λ)=8-4λ-2λ-1⋅-1λ2-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=8-4λ-2λ+1λ2-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=8-4λ-2λ+λ2-(-2⋅-4)
p(λ)=8-4λ-2λ+λ2-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.2.2
اطرح 2λ من -4λ.
p(λ)=8-6λ+λ2-(-2⋅-4)
p(λ)=8-6λ+λ2-(-2⋅-4)
خطوة 1.5.2.1.3
اضرب -(-2⋅-4).
خطوة 1.5.2.1.3.1
اضرب -2 في -4.
p(λ)=8-6λ+λ2-1⋅8
خطوة 1.5.2.1.3.2
اضرب -1 في 8.
p(λ)=8-6λ+λ2-8
p(λ)=8-6λ+λ2-8
p(λ)=8-6λ+λ2-8
خطوة 1.5.2.2
جمّع الحدود المتعاكسة في 8-6λ+λ2-8.
خطوة 1.5.2.2.1
اطرح 8 من 8.
p(λ)=-6λ+λ2+0
خطوة 1.5.2.2.2
أضف -6λ+λ2 و0.
p(λ)=-6λ+λ2
p(λ)=-6λ+λ2
خطوة 1.5.2.3
أعِد ترتيب -6λ وλ2.
p(λ)=λ2-6λ
p(λ)=λ2-6λ
p(λ)=λ2-6λ
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2-6λ=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
أخرِج العامل λ من λ2-6λ.
خطوة 1.7.1.1
أخرِج العامل λ من λ2.
λ⋅λ-6λ=0
خطوة 1.7.1.2
أخرِج العامل λ من -6λ.
λ⋅λ+λ⋅-6=0
خطوة 1.7.1.3
أخرِج العامل λ من λ⋅λ+λ⋅-6.
λ(λ-6)=0
λ(λ-6)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ=0
λ-6=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة λ بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ=0
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة λ-6 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة λ-6 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-6=0
خطوة 1.7.4.2
أضف 6 إلى كلا المتعادلين.
λ=6
λ=6
خطوة 1.7.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة λ(λ-6)=0 صحيحة.
λ=0,6
λ=0,6
λ=0,6
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([4-4-22]+0[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 3.2.1.1
اضرب 0 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[4-4-22]+[0⋅10⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 3.2.1.2.1
اضرب 0 في 1.
[4-4-22]+[00⋅00⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.2
اضرب 0 في 0.
[4-4-22]+[000⋅00⋅1]
خطوة 3.2.1.2.3
اضرب 0 في 0.
[4-4-22]+[0000⋅1]
خطوة 3.2.1.2.4
اضرب 0 في 1.
[4-4-22]+[0000]
[4-4-22]+[0000]
[4-4-22]+[0000]
خطوة 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
خطوة 3.2.2.1
اجمع العناصر المتناظرة.
[4+0-4+0-2+02+0]
خطوة 3.2.2.2
Simplify each element.
خطوة 3.2.2.2.1
أضف 4 و0.
[4-4+0-2+02+0]
خطوة 3.2.2.2.2
أضف -4 و0.
[4-4-2+02+0]
خطوة 3.2.2.2.3
أضف -2 و0.
[4-4-22+0]
خطوة 3.2.2.2.4
أضف 2 و0.
[4-4-22]
[4-4-22]
[4-4-22]
[4-4-22]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=0.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[4-40-220]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by 14 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by 14 to make the entry at 1,1 a 1.
[44-4404-220]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[1-10-220]
[1-10-220]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-10-2+2⋅12+2⋅-10+2⋅0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([4-4-22]-6[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
اضرب -6 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[4-4-22]+[-6⋅1-6⋅0-6⋅0-6⋅1]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب -6 في 1.
[4-4-22]+[-6-6⋅0-6⋅0-6⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب -6 في 0.
[4-4-22]+[-60-6⋅0-6⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب -6 في 0.
[4-4-22]+[-600-6⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب -6 في 1.
[4-4-22]+[-600-6]
[4-4-22]+[-600-6]
[4-4-22]+[-600-6]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[4-6-4+0-2+02-6]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
اطرح 6 من 4.
[-2-4+0-2+02-6]
خطوة 4.2.3.2
أضف -4 و0.
[-2-4-2+02-6]
خطوة 4.2.3.3
أضف -2 و0.
[-2-4-22-6]
خطوة 4.2.3.4
اطرح 6 من 2.
[-2-4-2-4]
[-2-4-2-4]
[-2-4-2-4]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=6.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-2-40-2-40]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -12 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -12 to make the entry at 1,1 a 1.
[-12⋅-2-12⋅-4-12⋅0-2-40]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[120-2-40]
[120-2-40]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2+2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2+2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[120-2+2⋅1-4+2⋅20+2⋅0]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[120000]
[120000]
[120000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+2y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-2yy]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-21]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[-21]|y∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-21]}
{[-21]}
{[-21]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11],[-21]}